Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если каждое испытание имеет только два возможных исхода и вероятности исходов остаются неизменными для всех испытаний.

Обозначим эти вероятности как p и q . Исход с вероятностью p будем называть “успехом”, а исход с вероятностью q – “неудачей”.

Очевидно, что

Пространство элементарных событий для каждого испытания состоит из двух точек. Пространство элементарных событий для n испытаний Бернулли содержит точек, каждая из которых представляет один возможный исход составного опыта. Поскольку испытания независимы, то вероятность последовательности событий равна произведению вероятностей соответствующих исходов. Например, вероятность последовательности событий

{У, У, Н, У, Н, Н, Н}

равна произведению

Примеры испытаний Бернулли.

1. Последовательные бросания “правильной” монеты. В этом случае p = q = 1/2 .

При бросании несимметричной монеты соответствующие вероятности изменят свои значения.

2. Каждый результат опыта можно рассматривать как A или .

3. Если существует несколько возможных исходов, то из них можно выделить группу исходов, которые рассматриваются как “успех”, называя все прочие исходы “неудачей”.

Например, при последовательных бросаниях игральной кости под “успехом” можно понимать выпадение 5, а под “неудачей” – выпадение любого другого числа очков. В этом случае p = 1/6, q = 5/6.

Если же под “успехом” понимать выпадение четного, а под “неудачей” – нечетного числа очков, то p = q = 1/2 .

4. Повторные случайные извлечения шара из урны, содержащей при каждом испытании a белых и b черных шаров. Если под успехом понимать извлечение белого шара, то , .

Феллер приводит следующий пример практического применения схемы испытаний Бернулли. Шайбы, изготовляемые при массовом производстве, могут отличаться по толщине, но при проверке они классифицируются на годные и дефектные – в зависимости от того, находится ли толщина в предписанных границах. И хотя продукция по многим причинам не может вполне соответствовать схеме Бернулли, эта схема задает идеальный стандарт для промышленного контроля качества продукции, несмотря даже на то, что этот стандарт никогда не достигается вполне точно. Машины подвержены изменениям, и поэтому вероятности не остаются одними и теми же; в режиме работы машин имеется некоторое постоянство, в результате чего длинные серии одинаковых отклонений оказываются более вероятными, чем это было бы при действительной независимости испытаний. Однако с точки зрения контроля качества продукции желательно, чтобы процесс соответствовал схеме Бернулли, и важно то, что в некоторых пределах этого можно добиться. Целью текущего контроля является обнаружение уже на ранней стадии существенных отступлений от идеальной схемы и использование их как указаний на угрожающее нарушение правильности работы машины.

«Элементы математической статистики» - Доверительный интервал. Наука. Классификация гипотез. Детали изготавливаются на разных станках. Правила проверки. Корреляционная зависимость. Зависимость. Совокупность значений критерия. Найти доверительный интервал. Расчет доверительных интервалов при неизвестной дисперсии. Нормальное распределение.

«Вероятность и математическая статистика» - Точность полученных значений. Шифр для сейфа. Описательная статистика. Яблоко. Рассмотрим события. Правило умножения. Два стрелка. Сравнение учебных программ. Карамель. Примеры столбчатых диаграмм. Отметки по математике. Правило умножения для трех. Белые и красные розы. 9 разных книг. Зимние каникулы.

«Основы математической статистики» - Условная вероятность. Таблица стандартизованных значений. Свойства распределения Стьюдента. Доверительный интервал математического ожидания. Выборочное среднее. Распределение. Одно испытание можно рассматривать как серию из одного испытания. Квантиль – левее должно располагаться кол-во значений, соответствующее индексу квантили.

«Теория вероятности и статистика» - Границы интервала. Критические области. Теорема умножения вероятностей. Распределение нормальной случайной величины. Вывод формулы Бернулли. Законы распределения случайных величин. Формулировка ЗБЧ. Смысл и формулировка центральной предельной теоремы. Связь номинальных признаков. Стохастическая зависимость двух случайных величин.

«Статистическое исследование» - Актуальность. Статистические характеристики и исследования. План. Размах – это разность наибольшего и наименьшего значений ряда данных. Виды статестического наблюдения. Нравится ли тебе заниматься изучением математики. Рассмотрим ряд чисел. Кто тебе помогает разобрать трудную тему по математике. Нужна ли математика в будущей вашей профессии.

«Основные статистические характеристики» - Основные статистические характеристики. Найдите среднее арифметическое. Петроний. Размах. Мода ряда. Среднее арифметическое ряда чисел. Размах ряда. Медиана ряда. Статистика. Медиана. Школьные тетради.

Всего в теме 17 презентаций

https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей §54. Случайные события и их вероятности 3.НЕЗАВИСИМЫЕ ПОВТОРЕНИЯ ИСПЫТАНИЙ. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ.

Содержание ПРИМЕР 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле … Решение 5а); Решение 5б); Решение 5в); Решение 5г). Заметим, что… Во всей серии повторений важно знать … Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы … ТЕОРЕМА 3 (теорема Бернулли). ПРИМЕР 6. В каждом из пунктов а) - г) определить значения n , k , p , q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn (k). Решение 6 а); Решение 6 б); Решение 6 в); Решение 6 г). Теорема Бернулли позволяет … ТЕОРЕМА 4. При большом числе независимых повторений … Для учителя. Источники. 08.02.2014 2

3.НЕЗАВИСИМЫЕ ПОВТОРЕНИЯ ИСПЫТАНИЙ. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ. Часть 3. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 3

ПРИМЕР 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле Несколько изменим предыдущий пример: вместо двух разных стрелков по мишени будет стрелять один и тот же стрелок. Пример 5 . Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень: а) будет поражена трижды; б) не будет поражена; в) будет поражена хотя бы раз; г) будет поражена ровно один раз. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 4

Решение примера 5а) Пример 5 . Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень: а) будет поражена трижды; 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 5

Решение примера 5б) Пример 5 . Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень: б) не будет поражена; Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 6

Решение примера 5в) Пример 5 . Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень: в) будет поражена хотя бы раз; Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 7

Решение примера 5г) Пример 5 . Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень: г) будет поражена ровно один раз. Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 8

Заметим Решение, приведенное в пункте г) примера 5, в конкретном случае повторяет доказательство знаменитой теоремы Бернулли, которая относится к одной из наиболее распространенных вероятностных моделей: независимым повторениям одного и того же испытания с двумя возможными исходами. Отличительная особенность многих вероятностных задач состоит в том, что испытание, в результате которого может наступить интересующее нас событие, можно многократно повторять. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 9

Во всей серии повторений важно знать В каждом из таких повторений нас интересует вопрос о том, произойдет или не произойдет это событие. А во всей серии повторений нам важно знать, сколько именно раз может произойти или не произойти это событие. Например, игральный кубик бросили десять раз подряд. Какова вероятность того, что «четверка» выпадет ровно 3 раза? Произведено 10 выстрелов; какова вероятность того, что будет ровно 8 попаданий в мишень? Или же какова вероятность того, что при пяти бросаниях монеты «орел» выпадет ровно 4 раза? 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 10

Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы Швейцарский математик начала XVIII века Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы такого типа в единую вероятностную схему. Пусть вероятность случайного события А при проведении некоторого испытания равна Р(А). Будем рассматривать это испытание как испытание только с двумя возможными исходами: один исход состоит в том, что событие А произойдет, а другой исход состоит в том, что событие А не произойдет, т. е. произойдет событие Ᾱ . Для краткости назовем первый исход (наступление события А) «успехом», а второй исход (наступление события Ᾱ) «неудачей». Вероятность Р(А) «успеха» обозначим p, а вероятность Р(Ᾱ) «неудачи» обозначим q. Значит, q = Р(Ᾱ) = 1 - Р(А) = 1 - р. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 11

ТЕОРЕМА 3 (теорема Бернулли) Теорема 3 (теорема Бернулли). Пусть P n (k) - вероятность наступления ровно k «успехов» в n независимых повторениях одного и того же испытания. Тогда P n (k)= С n k  p k  q n- k , где р - вероятность «успеха», a q=1 - р - вероятность «неудачи» в отдельном испытании. Эта теорема (мы приводим ее без доказательства) имеет огромное значение и для теории, и для практики. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 12

ПРИМЕР 6. Пример 6 . В каждом из пунктов а) - г) определить значения n , k , р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности P n (k). а) Чему равна вероятность появления ровно 7 «орлов» при 10 бросаниях монеты? б) Каждый из 20 человек независимо называет один из дней недели. «Неудачными» днями считаются понедельник и пятница. Какова вероятность того, что «удач» будет ровно половина? в) Бросание кубика «удачно», если выпадает 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 5 бросаний из 25 будут «удачными»? г) Испытание состоит в одновременном бросании трех различных монет. «Неудача»: «решек» больше, чем «орлов». Какова вероятность того, что будет ровно три «удачи» среди 7 бросаний? 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 13

Решение 6а) Пример 6 . В каждом из пунктов а) - г) определить значения n , k , р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности P n (k). а) Чему равна вероятность появления ровно 7 «орлов» при 10 бросаниях монеты? Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 14

Решение 6б) Пример 6 . В каждом из пунктов а) - г) определить значения n , k , р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности P n (k). б) Каждый из 20 человек независимо называет один из дней недели. «Неудачными» днями считаются понедельник и пятница. Какова вероятность того, что «удач» будет ровно половина? Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 15

Решение 6в) Пример 6 . В каждом из пунктов а) - г) определить значения n , k , р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности P n (k). в) Бросание кубика «удачно», если выпадает 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 5 бросаний из 25 будут «удачными»? Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 16

Решение 6г) Пример 6 . В каждом из пунктов а) - г) определить значения n , k , р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности P n (k). г) Испытание состоит в одновременном бросании трех различных монет. «Неудача»: «решек» больше, чем «орлов». Какова вероятность того, что будет ровно три «удачи» среди 7 бросаний? Решение: г) n = 7, k = 3. «Удача» при одном бросании состоит в том, что «решек» выпало меньше, чем «орлов». Всего возможны 8 результатов: РРР, РРО, POP, ОРР, POO, ОРО, OOP, ООО (Р - «решка», О - «орел»). Ровно в половине из них «решек» меньше «орлов»: РОО, ОРО, OOP, ООО. Значит, p = q = 0,5; Р 7 (3) = С 7 3 ∙ 0,5 3 ∙ 0,5 4 = С 7 3 ∙ 0,5 7 . 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 17

Теорема Бернулли позволяет … Теорема Бернулли позволяет установить связь между статистическим подходом к определению вероятности и классическим определением вероятности случайного события. Чтобы описать эту связь, вернемся к терминам § 50 о статистической обработке информации. Рассмотрим последовательность из n независимых повторений одного и того же испытания с двумя исходами - «удачей» и «неудачей». Результаты этих испытаний составляют ряд данных, состоящий из некоторой последовательности двух вариант: «удачи» и «неудачи». Проще говоря, имеется последовательность длины n , составленная из двух букв У («удача») и Н («неудача»). Например, У, У, Н, Н, У, Н, Н, Н, ..., У или Н, У, У, Н, У, У, Н, Н, У, ..., Н и т. п. Подсчитаем кратность и частоту варианты У, т. е. найдем дробь k/n , где k - количество «удач», встретившихся среди всех n повторений. Оказывается, что при неограниченном возрастании n частота k/n появления «успехов» будет практически неотличимой от вероятности p «успеха» в одном испытании. Этот довольно сложный математический факт выводится именно из теоремы Бернулли. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 18

ТЕОРЕМА 4. При большом числе независимых повторений ТЕОРЕМА 4. При большом числе независимых повторений одного и того же испытания частота появления случайного события А со все большей точностью приближенно равна вероятности события А: k/n≈ Р(А). Например, при n > 2000 с вероятностью, большей чем 99%, можно утверждать, что абсолютная погрешность | k/n - Р(А)| приближенного равенства k/n≈ Р(А) будет меньше 0,03. Поэтому при социологических опросах достаточно бывает опросить около 2000 случайно выбранных людей (респондентов). Если, допустим, 520 из них положительно ответили на заданный вопрос, то k/n=520/2000=0,26 и практически достоверно, что для любого большего числа опрошенных такая частота будет находиться в пределах от 0,23 до 0,29. Это явление называют явлением статистической устойчивости. Итак, теорема Бернулли и следствия из нее позволяют (приближенно) находить вероятность случайного события в тех случаях, когда ее явное вычисление невозможно. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 19

Для учителя 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 20

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 21

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 22

Источники Алгебра и начала анализа, 10-11 классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009 Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010 Таблицы составлены в MS Word и MS Excel . Интернет-ресурсы Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 23

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Слайд 1
Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей
§54. Случайные события и их вероятности3.НЕЗАВИСИМЫЕ ПОВТОРЕНИЯ ИСПЫТАНИЙ. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ.

Слайд 2
Содержание
ПРИМЕР 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле …Решение 5а);Решение 5б);Решение 5в);Решение 5г).Заметим, что…Во всей серии повторений важно знать …Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы…ТЕОРЕМА 3 (теорема Бернулли).
ПРИМЕР 6. В каждом из пунктов а) - г) определить значения n, k, p, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn(k).Решение 6а);Решение 6б);Решение 6в);Решение 6г). Теорема Бернулли позволяет…ТЕОРЕМА 4. При большом числе независимых повторений…Для учителя.Источники.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 3
3.НЕЗАВИСИМЫЕ ПОВТОРЕНИЯ ИСПЫТАНИЙ. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ.
Часть 3.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 4
ПРИМЕР 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле
Несколько изменим предыдущий пример: вместо двух разных стрелков по мишени будет стрелять один и тот же стрелок.Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень:а) будет поражена трижды;б) не будет поражена;в) будет поражена хотя бы раз;г) будет поражена ровно один раз.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 5
Решение примера 5а)
Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень: а) будет поражена трижды;
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 6
Решение примера 5б)
Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень:б) не будет поражена;Решение:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 7
Решение примера 5в)
Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень:в) будет поражена хотя бы раз;Решение:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 8
Решение примера 5г)
Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень:г) будет поражена ровно один раз.Решение:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 9
Заметим
Решение, приведенное в пункте г) примера 5, в конкретном случае повторяет доказательство знаменитой теоремы Бернулли, которая относится к одной из наиболее распространенных вероятностных моделей: независимым повторениям одного и того же испытания с двумя возможными исходами. Отличительная особенность многих вероятностных задач состоит в том, что испытание, в результате которого может наступить интересующее нас событие, можно многократно повторять.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 10
Во всей серии повторений важно знать
В каждом из таких повторений нас интересует вопрос о том, произойдет или не произойдет это событие. А во всей серии повторений нам важно знать, сколько именно раз может произойти или не произойти это событие. Например, игральный кубик бросили десять раз подряд. Какова вероятность того, что «четверка» выпадет ровно 3 раза? Произведено 10 выстрелов; какова вероятность того, что будет ровно 8 попаданий в мишень? Или же какова вероятность того, что при пяти бросаниях монеты «орел» выпадет ровно 4 раза?
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 11
Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы
Швейцарский математик начала XVIII века Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы такого типа в единую вероятностную схему.Пусть вероятность случайного события А при проведении некоторого испытания равна Р(А). Будем рассматривать это испытание как испытание только с двумя возможными исходами: один исход состоит в том, что событие А произойдет, а другой исход состоит в том, что событие А не произойдет, т. е. произойдет событие Ᾱ . Для краткости назовем первый исход (наступление события А) «успехом», а второй исход (наступление события Ᾱ) «неудачей». Вероятность Р(А) «успеха» обозначим p, а вероятность Р(Ᾱ) «неудачи» обозначим q. Значит, q = Р(Ᾱ) = 1 - Р(А) = 1 - р.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 12
ТЕОРЕМА 3 (теорема Бернулли)
Теорема 3 (теорема Бернулли). Пусть Pn(k) - вероятность наступления ровно k «успехов» в n независимых повторениях одного и того же испытания. Тогда Pn(k)= Сnk pk qn-k, где р - вероятность «успеха», a q=1-р - вероятность «неудачи» в отдельном испытании.Эта теорема (мы приводим ее без доказательства) имеет огромное значение и для теории, и для практики.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 13
ПРИМЕР 6.
Пример 6. В каждом из пунктов а) - г) определить значения n, k, р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn(k).а) Чему равна вероятность появления ровно 7 «орлов» при 10 бросаниях монеты?б) Каждый из 20 человек независимо называет один из дней недели. «Неудачными» днями считаются понедельник и пятница. Какова вероятность того, что «удач» будет ровно половина?в) Бросание кубика «удачно», если выпадает 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 5 бросаний из 25 будут «удачными»?г) Испытание состоит в одновременном бросании трех различных монет. «Неудача»: «решек» больше, чем «орлов». Какова вероятность того, что будет ровно три «удачи» среди 7 бросаний?
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 14
Решение 6а)
Пример 6. В каждом из пунктов а) - г) определить значения n, k, р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn(k).а) Чему равна вероятность появления ровно 7 «орлов» при 10 бросаниях монеты?Решение:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 15
Решение 6б)
Пример 6. В каждом из пунктов а) - г) определить значения n, k, р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn(k).б) Каждый из 20 человек независимо называет один из дней недели. «Неудачными» днями считаются понедельник и пятница. Какова вероятность того, что «удач» будет ровно половина?Решение:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 16
Решение 6в)
Пример 6. В каждом из пунктов а) - г) определить значения n, k, р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn(k).в) Бросание кубика «удачно», если выпадает 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 5 бросаний из 25 будут «удачными»?Решение:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 17
Решение 6г)
Пример 6. В каждом из пунктов а) - г) определить значения n, k, р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn(k).г) Испытание состоит в одновременном бросании трех различных монет. «Неудача»: «решек» больше, чем «орлов». Какова вероятность того, что будет ровно три «удачи» среди 7 бросаний?Решение: г) n = 7, k = 3. «Удача» при одном бросании состоит в том, что «решек» выпало меньше, чем «орлов». Всего возможны 8 результатов: РРР, РРО, POP, ОРР, POO, ОРО, OOP, ООО (Р - «решка», О - «орел»). Ровно в половине из них «решек» меньше «орлов»: РОО, ОРО, OOP, ООО. Значит,p = q = 0,5; Р7(3) = С73∙ 0,53 ∙ 0,54 = С73 ∙ 0,57.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 18
Теорема Бернулли позволяет…
Теорема Бернулли позволяет установить связь между статистическим подходом к определению вероятности и классическим определением вероятности случайного события. Чтобы описать эту связь, вернемся к терминам § 50 о статистической обработке информации. Рассмотрим последовательность из n независимых повторений одного и того же испытания с двумя исходами - «удачей» и «неудачей». Результаты этих испытаний составляют ряд данных, состоящий из некоторой последовательности двух вариант: «удачи» и «неудачи». Проще говоря, имеется последовательность длины n, составленная из двух букв У («удача») и Н («неудача»). Например, У, У, Н, Н, У, Н, Н, Н, ..., У или Н, У, У, Н, У, У, Н, Н, У, ..., Н и т. п. Подсчитаем кратность и частоту варианты У, т. е. найдем дробь k/n, где k - количество «удач», встретившихся среди всех n повторений. Оказывается, что при неограниченном возрастании n частота k/n появления «успехов» будет практически неотличимой от вероятности p «успеха» в одном испытании. Этот довольно сложный математический факт выводится именно из теоремы Бернулли.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 19
ТЕОРЕМА 4. При большом числе независимых повторений
ТЕОРЕМА 4. При большом числе независимых повторений одного и того же испытания частота появления случайного события А со все большей точностью приближенно равна вероятности события А: k/n≈ Р(А).Например, при n > 2000 с вероятностью, большей чем 99%, можно утверждать, что абсолютная погрешность |k/n- Р(А)| приближенногоравенства k/n≈ Р(А) будет меньше 0,03. Поэтому при социологическихопросах достаточно бывает опросить около 2000 случайно выбранных людей (респондентов). Если, допустим, 520 из них положительно ответили на заданный вопрос, то k/n=520/2000=0,26 и практически достоверно, что для любого большего числа опрошенных такая частота будет находиться в пределах от 0,23 до 0,29. Это явление называют явлением статистической устойчивости.Итак, теорема Бернулли и следствия из нее позволяют (приближенно) находить вероятность случайного события в тех случаях, когда ее явное вычисление невозможно.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 20
Для учителя
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 21
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 22
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 23
Источники
Алгебра и начала анализа, 10-11 классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010Таблицы составлены в MS Word и MS Excel.Интернет-ресурсы
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
08.02.2014
*

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«МАТИ»  РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО

Кафедра «Моделирование систем и информационные технологии»

Повторение испытаний. Схема бернулли

Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине «Высшая математика»

Составители: Егорова Ю.Б.

Мамонов И.М.

Москва 2006 введение

Методические указания предназначены для студентов дневного и вечернего отделения факультета №14 специальностей 150601, 160301, 230102. Указания выделяют основные понятия темы, определяют последовательность изучения материала. Большое количество рассмотренных примеров помогает в практическом освоении темы. Методические указания служат методической основой для практических занятий и выполнения индивидуальных заданий.

СХЕМА БЕРНУЛЛИ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ

Схема Бернулли - схема повторных независимых испытаний, при которой какое-то событие А может многократно повторяться с постоянной вероятностью Р (А )= р .

Примеры испытаний, проводимых по схеме Бернулли: многократное подбрасывание монеты или игральной кости, изготовление партии деталей, стрельба по мишени и т.п.

Теорема. Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и равна р , то вероятность того, что событие А наступит m раз в n испытаниях (безразлично в какой последовательности), можно определить по формуле Бернулли:

где q = 1 – p .

ПРИМЕР 1. Вероятность того, что расход электроэнергии на протяжении одних суток не превысит установленной нормы, равна р= 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

РЕШЕНИЕ. Вероятность нормального расхода элек­троэнергии на протяжении каждых из 6 суток постоянна и равна р = 0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q = 1р = 1  0,75 = 0,25.

Искомая вероятность по формуле Бернулли равна:

ПРИМЕР 2. Стрелок производит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна р= 0,3. Найти вероятность того, что поражена: а) одна мишень; б) все три мишени; в) ни одной мишени; г) хотя бы одна мишень; д) менее двух мишеней.

РЕШЕНИЕ. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле постоянна и равна р =0,75. Следовательно, вероятность промаха равна q = 1 р = 1  0,3= 0,7. Общее число проведенных опытов n =3.

а) Вероятность поражения одной мишени при трех выстрелах равна:

б) Вероятность поражения всех трех мишеней при трех выстрелах равна:

в) Вероятность трех промахов при трех выстрелах равна:

г) Вероятность поражения хотя бы одной мишени при трех выстрелах равна:

д) Вероятность поражения менее двух мишеней, то есть или одной мишени, или ни одной:

1. Локальная и интегральная теоремы муавра-лапласа

Если произведено большое число испытаний, то вычисление вероятностей по формуле Бернулли становится технически сложным, так как формула требует действий над огромными числами. Поэтому существуют более простые приближенные формулы для вычисления вероятностей при больших n . Эти формулы называются асимптотическими и определяются теоремой Пуассона, локальной и интегральной теоремой Лапласа.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. А А произойдет m раз в n n (n →∞ ), приближенно равна:

где функция
а аргумент

Чем больше n , тем точнее вычисление вероятностей. Поэтому теорему Муавра-Лапласа целесообразно применять при npq  20.

f ( x ) составлены специальные таблицы (см. приложение 1). При использовании таблицы необходимо иметь в виду свойства функции f(x) :

Функция f(x) является четной f(  x)= f(x) .

При х  ∞ функция f(x)  0. Практически можно считать, что уже при х >4 функция f(x) ≈0.

ПРИМЕР 3. Найти вероятность того, что событие А наступит 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании равна р= 0,2.

РЕШЕНИЕ. По условию n =400, m =80, p =0,2, q =0,8. Следовательно:

По таблице определим значение функции f (0)=0,3989.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие А произойдет от m 1 до m 2 раз в n испытаниях при достаточно большом числе n (n →∞ ), приближенно равна:

где
 интеграл или функция Лапласа,

Для нахождения значений функции Ф( x ) составлены специальные таблицы (например, см. приложение 2). При использовании таблицы необходимо иметь в виду свойства функции Лапласа Ф(x) :

Функция Ф(x) является нечетной Ф(  x)=  Ф(x) .

При х  ∞ функция Ф(x)  0,5. Практически можно считать, что уже при х >5 функция Ф(x) ≈0,5.

Ф (0)=0.

ПРИМЕР 4. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.

РЕШЕНИЕ. По условию n =400, m 1 =70, m 2 =100, p =0,2, q =0,8. Следовательно:

По таблице, в которой приведены значения функции Лапласа, определяем:

Ф(x 1 ) = Ф(  1,25 )=  Ф( 1,25 )=  0,3944; Ф(x 2 ) = Ф( 2,5 )= 0,4938.

Слайд 2

Pn(k)=Cknpk(1-p)n-k Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность Pn(k) того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: Т Формулировка теоремы Формула Бернулли - формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений - сложения и умножения вероятностей - при достаточно большом количестве испытаний.

Слайд 3

Историческая справка ЯКОБ БЕРНУЛЛИ (1654–1705)Дата рождения: 27 декабря 1654г.Место рождения: БазельДата смерти: 16 августа 1705г.Место смерти: БазельГражданство: ШвейцарияНаучная сфера: МатематикМесто работы: Базельский университетНауч. рук.: ЛейбницЯкоб Бернулли (нем. Jakob Bernoulli, 27 декабря 1654, Базель, - 16 августа 1705, там же) - швейцарский математик, брат Иоганна Бернулли; профессор математики Базельского университета (с 1687). Якобу Бернулли принадлежат значительные достижения в теории рядов, дифференциальном исчислении вариационного исчисления, теории вероятностей и теории чисел, где его именем названы числа с некоторыми определенными свойствами. Якобу Бернулли принадлежат также работы по физике, арифметике, алгебре и геометрии.

Слайд 4

Пример использования формулы Бернулли Каждый день акции корпорации АВС поднимаются в цене или падают в цене на один пункт с вероятностями соответственно 0,75 и 0,25. Найти вероятность того, что акции после шести дней вернутся к своей первоначальной цене. Принять условие, что изменения цены акции вверх и вниз – независимые события. РЕШЕНИЕ: Для того, чтобы акции вернулись за 6 дней к своей первоначальной цене, нужно, чтобы за это время они 3 раза поднялись в цене и три раза опустились в цене. Искомая вероятность рассчитывается по формуле Бернулли P6(3) =C36(3/4)3(1/4)3=0,13

Слайд 5

Проверь себя В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых? ОТВЕТ: РЕШЕНИЕ: ОТВЕТ: ОТВЕТ: РЕШЕНИЕ: РЕШЕНИЕ: Аудитор обнаруживает финансовые нарушения у проверяемой фирмы с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что среди 4 фирм-нарушителей будет выявлено больше половины. Игральный кубик бросается 3 раза. Какова вероятность того, что в этой серии испытаний 6 очков появятся ровно 2 раза? 0,01389 8/27 0,9477

Слайд 6

Проверь себя Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более, чем 2 раза. ОТВЕТ: РЕШЕНИЕ: ОТВЕТ: РЕШЕНИЕ: Пусть всхожесть семян пшеницы составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из 7 посеянных семян взойдут 5? 0,124 0,344

Слайд 7

Вероятность извлечения белого шара p=20/30=2/3 можно считать одной и той же во всех испытаниях; 1-p=1/3 Используя формулу Бернулли, получаем P4(2) = C42·p2·(1-p)2=(12/2)·(2/3)2·(1/3)2 = 8/27 НАЗАД РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 1

Слайд 8

НАЗАД РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 2 Событие состоит в том, что из 4 фирм-нарушителей будет выявлено три или четыре, т.е. P(A)=P4(3)+P4(4) P(A)= C340,93∙0,1+C44 0,94 = 0,93 (0,4+0,9)=0,9477